第3回数学科リレー講座「複素数の世界」6日目
リレー講座の最終日。６日目の今日は「オイラーの公式」と「代数学の基本定理」の２本立てで盛りだくさんです。どちらのテーマも厳密に話を進めていくのは高校生でも大変なことなので、定理の内容の紹介と、その意味するところを感じ取ってもらうことを目標としました。
オイラーの公式とは「ｅ^iπ = -1」というものです。数年前「博士の愛した数式」という小説や映画でも取り上げられ、割とよく知られている公式です。自然対数の底e、円周率π、虚数単位i、そしてマイナスが付いていますが、数の基本である1。これらが結びつき簡潔な式にまとまっているところに、美しさを感じ惹かれてしまいます。ですが、見た目には簡潔な式ですが、いざ、この式が表すことを説明しようとするとものすごく大変なことで、しかも、複素数に触れたのが５日前！という中学生に対しては、何を強調して伝えればいいか悩むところでした。（これはもう１つのテーマの代数学の基本定理でも同じです。）
まず、指数法則を複素数まで拡張していくとき、ｅ^iθをどのように定義すればよいのかがポイントであることを強調して、ｅ^iθのもっている指数法則が３日目のド・モアブルの定理によく似ていることに気づいてもらいます。そして、ｅ^iθ = cosθ+i sinθ であることを実感する、という流れで行いました（写真1）。
ｅ^iθ = cosθ+i sinθという関係式を認めてしまえば、オイラーの公式は単にθ=πと代入しただけなのですが、実は、この関係式は２つめのテーマの代数学の基本定理の話にも登場します。
代数学の基本定理とは「n次方程式は必ず複素数に解をもつ」というものです。１次方程式を習ったばかりの中学１年生では何がスゴイ定理なのかわかりにくいかもしれませんが、２次方程式を実数の範囲で考えると解なしの可能性があることを知っていれば、その意味も見えてくると思います。方程式 f(z)=0 が解をもつ、ということを実感することをメインにしたので、実際に複素平面上で関数 w=f(z) がどのような振る舞いをするのかをパソコンを使って見てもらいました（写真2）。
変数zが半径rの円（写真では黄色い線）を動くときに、関数の値w=f(z)がどのような図形（写真では赤い線）を動くのかを、さまざまなrに対して観察し、w=0となる、つまり、赤い線が原点を通るようなrが必ずあることの雰囲気を感じました（写真3）。
また、関数f(z)が２次式のときは値の赤い線はクルクルっと２回転、３次式のときはクルクルクルっと３回転するのですが、その理由を ｅ^iθ を用いて説明して、今日の講座を終了しました（写真4）。
（小澤 嘉康）
（写真１）
（写真２）
（写真３）
（写真４）
